Proiect la geometrie

Puncte, drepte, plane, corpuri geometrice
 Ana Octavia Georoceanu -clasa a VI-a A-
Aspecte teoretice
 Punctul este figura geometrica ce se aseamana cu o urma lasata de un creion pe hartie. Se noteaza cu literele mari ale alfabetului: A, B, C … Punctul nu are dimensiuni. Dreapta poate fi comparata cu un fir intins. Dreapta este nemarginita si se noteaza cu literele mici ale alfabetului: a, b, c … Dreapta este formata dintr-o multime de puncte, numite puncte coliniare. Planul poate fi comparat cu suprafata unui geam, dar presupus nemarginit. Planul se deseneaza ca un paralelogram si se noteaza cu literele mici ale alfabetului grecesc: (alpha), (beta), (gamma) … Axiomele geometriei in spatiu: Axioma 1. Prin doua puncte distincte trece o singura dreapta, orice dreapta contine cel putin doua puncte distincte. Axioma 2. Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan, orice plan contine cel putin trei puncte necoliniare. Pentru trei puncte necoliniare A, B, C, se noateaza planul determinat de ele astfel: (ABC). Axioma 3. Daca doua puncte distincte apartin unui plan, atunci dreapta determinata de ele este inclusa in acel plan. Axioma 4. Daca doua plane se intersecteaza (adica au un punct comun), atunci intersectia lor este o dreapta. Axioma 5. In spatiu exista cel putin patru puncte necoplanare. Determinarea dreptei Doua puncte diferite determina o dreapta. Se citeste dreapta AB (unde A si B sunt punte ce apartin dreptei) sau dreapta d. Trei puncte situate pe o dreapta se numesc puncte coliniare. Determinarea planului • Trei punte necoliniare determina un plan. • Doua drepte concurente determina un plan. • O dreapta si un punct exterior ei determina un plan. • Doua drepte paralele determina un plan. Paralelipipedul dreptunghic: • bazele sunt dreptunghiuri si plane paralele; • fatele laterale opuse sunt dreptunghiuri congruente; • fetele laterale opuse sunt in plane paralele; • fetele laterale sunt perpendiculare pe baze; • . Cubul: • toate cele 6 fete sunt patrate; • bazele sunt patrate si plane paralele; • fetele laterale opuse sunt patrate congruente; • fetele laterale opuse sunt in plane paralele; • fetele laterale sunt perpendiculare pe baze; • . Pozitiile relative a doua drepte in spatiu; relatia de paralelism in spatiu Definitie: Se numesc drepte coplanare, dreptele care sunt situate in acelasi plan. In caz contrar se numesc drepte necoplanare. Doua drepte sunt necoplanare daca nu sunt concurente si nu sunt paralele. Doua drepte coplanare pot fi: • paralele (nu au nici un punct in comun). • concurente (au un singur punct in comun). • identice (multimea punctelor lor coincid) Axioma paralelelor: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce cel mult o paralela la dreapta data. Teorema: Doua drepte distincte din spatiu, paralele cu o a treia sunt paralele intre ele. Unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a doua drepte in spatiu; drepte perpendiculare Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente daca sunt ambele ascutite sau ambele obtuze si sunt suplementare daca unul este ascutit iar celalalt obtuz. Pentru a gasi unghiul dintre doua drepte a si b (necoplanare) se procedeaza astfel: • se cauta o dreapta paralela cu una dintre ele si care are un punct comun cu cealalta – dreapta c paralela cu dreapta b; • unghiul format de dreptele c si a este si unghiul format de dreptele b si a Doua drepte necoplanare sunt perpendiculare daca unghiul dintre ele este de 90°. Aplicații practice 1.Unghiul format de bisectoarele a două unghiuri adiacente și suplementare are măsura egală cu: A. 900 B. 450 C. 600 D. 1800 2. În jurul punctului O de o parte a unei drepte sunt construite unghiurile , adiacente două câte două. Se ştie că şi raportul măsurilor unghiurilor şi are valoarea 1,1(6). Calculaţi măsurile celor trei unghiuri. Din , rezultă că (1) Conform problemei avem de unde , de unde (2 Se ştie că (3) Înlocuind (1) şi (2) în (3) rezultă: Apoi aflăm , şi 3. Fie unghiurile astfel încât este bisectoarea unghiului , este bisectoarea unghiului , este bisectoarea unghiului , este bisectoarea unghiului , este bisectoarea unghiului , este bisectoarea unghiului , iar . a) Aflaţi b) Arătaţi că şi sunt semidrepte opuse. 4. În jurul punctului O sunt 26 de unghiuri având măsurile, în grade, exprimate prin numere naturale. Ştiind că unul dintre ele are măsura de 36°, arătaţi că printre celelalte sunt cel puţin două unghiuri congruente. Considerăm unghiurile în jurul punctului O având măsurile distincte cele mai mici posibile . Suma lor este . cel puţin două unghiuri sunt congruente 5. Fie şi unghiuri în jurul punctului O. Se ştie că: , şi este semidreapta opusă semidreptei . Arătaţi că: a). b). dacă şi numai dacă a) b)